Algo respecto a la matemática (1)

¿Conocen alguna demostración matemática de (0,9...=1)?

Mi opinión y explicación, mas minuciosa y sobre explicada que lo normal, fue por lo dicho en otros foros. Pero bueno, la idea era dialogar respecto de si son demostraciones matemáticas o solo un convenio matemático (propiedades de unos conjuntos).

Por si les interesa: https://repositoriodeconfusiones-comentarios.blogspot.com.ar/2018/03/de-poco-otro.html#0,9(periodico)=1

A mí me choca esto bastante....pq siendo riguroso 0.999..... tiene como límite 1 pero no es realmente 1, sin embargo ya me habían dicho que se considera que son iguales......para mi no son iguales, la diferencia entre ambos se puede hacer tan pequeña como se quiera pero siempre será mayor que 0.

Yo lo veo de esta manera: Cuanto es 1 - 0.99... ?

A mí tampoco me cuadra, por el mismo motivo si 1 - 0,999... es igual a cero, entonces R*(1 -  0,999... )  también sería igual a cero, lo que no daría que r - r*0,999... sería igual a cero.  

En el caso de r = 2 entonces 2= 1,99999

En el caso de r= 5 entonces 5 = 4,99999

En el caso de r= pi entonces pi = pi*0,9999

En el caso de r = raíz de 2 entonces raíz de 2 = rraíz de 2 * 0,999

Entonces para todo r existe un r(1)  tal que r- r(1) =0

Si cogemos r(1) también existirá un r(2) tal que r(1) =r(2)  =r (n) es decir

r = r - (r -r*0,9999) = r - (r-r*0,9999) – (r-r* 0,9999) = ……..  r(1-0,999) - n*r(1-0,9999) =0
o también que: r = n*r

Con lo que para todo r  hay r(1) tal que r =r(1) =r(2)... =r(n)  o, dicho de otra forma todos los número pertenecientes a R serían iguales.

Tengo un poco oxidadas las matemáticas y no sé si me he explicado bien, pero pienso que o bien crearía una discontinuidad en los números reales, tal que cualquier intervalo abierto sería igual a uno cerrado o todos los números serían el mismo número.

La demostración más sencilla:

1/9 = 0.11...
9 x 1/9 = 0.99...
1 = 0.99

El problema viene de usar números periódicos en lugar de sus representaciones fraccionarias.

Yo creo que el problema viene de decir que 0,111 x 9 = 0,99999, que no es una demostración, es lo mismo que se había dicho antes, 0,3333 * 3 = 0,9999. Pienso que estas operaciones y cualquiera que se haga con cualquier número n*0,99999 = n es incorrecta, ya que es otra forma de expresar un número fraccionario y 1/3 *3 = 1, por lo que 0,3333 *3 = 1. Los mismo para 1/9.

Lo contrario, como he intentado explicar, crearía una discontinuidad tal que [a,b] = (a,b), ya que siempre habrá un número "anterior"; m = n - (1- 0,999) que cumpla con la demostraciones que se proponen, lo que en una sucesión infinita de restas nos llevaría a que todos los números son el mismo.

No entiendo muy bien tu explicación, pero creo que esto no es cierto:

"Entonces para todo r existe un r(1) tal que r- r(1) =0"

Dime un número X tal que 0.99... - X = 0
Tampoco he pensado mucho eh? igual se te ocurre alguno, pero así a bote pronto creo que no hay

r representa un número real. Quizas no es la notación correcta.

X, supongo, representa una incógnita. Así que 0,99999. Dos números, si al restarlos son igual a cero, es que son el mismo número.

Pero aquí estamos hablando de un número que es 1-0,9999 (llámalo j) y se dice que al restar 1 de  j el resultado es 1. Si restamos 1 de j mil veces, el resultado es cero. Si restamos 1 de j infinitas veces, también es cero y mi razonamiento es que hay infinitos números iguales entre sí (que represento por n) tal que 1-nj =1 siendo n también cualquier número racional (aunque n se usa para naturales, pero para el caso nos sirve)...  si decimos que j = 0, entonces nos queda que 1-n*j =0 o lo que es lo mismo 1=0 y como eso es absurdo, pues no puede ser que 1=0,99999

Sí, llevas razón

he editado varias veces, así que no tengo claro en que llevo razón, además me he liado en la explicación. Ahora no puedo, a ver si después lo arreglo.

Ok. Porque sí, efectivamente, has montado un buen lío.
La parte de tu razonamiento que no entiendo (y que no me permite seguir) es esta:

Albedrío escribió:
En el caso de r = 2 entonces 2= 1,99999

En el caso de r= 5 entonces 5 = 4,99999

En el caso de r= pi entonces pi = pi*0,9999

En el caso de r = raíz de 2 entonces raíz de 2 = rraíz de 2 * 0,999

Hasta aqui te sigo

Albedrío escribió:
Entonces para todo r existe un r(1)  tal que r- r(1) =0"

Aquí me pierdo. Los ejemplos que has puesto antes permiten sacar como conclusión que, para un r perteneciente a R (números reales) se cumple que r = r*0.99...

Pero no que "para todo r existe un r(1)  tal que r- r(1) =0 "
Esto, simplemente, no es cierto, salvo que r y r(1) sean el mismo número. No existe ningún r(1) distinto de r para el que se cumpla que r - r(1) = 0.

La ecuación 1 - 0.99... = 0 sí es correcta porque 1 y 0.99... son el mismo número

Por cierto, curiosidad curiosísima: acabo de leer en la wiki que esta discusión es tan típica que hasta en un foro de gaming de Blizzard (empresa de videojuegos), se estuvo debatiendo tan largo y tendido sobre ello que la propia compañía sacó un comunicado afirmando que, efectivamente, 1=0.99...

Qué frikis somos y cómo nos gusta serlo

Willy escribió:Yo lo veo de esta manera: Cuanto es 1 - 0.99... ?

1-0.999999...=0.00000...1 por eso el límite tiende a 0 pero no es 0, a medida que haya más 9s habrá más ceros delante del 1.....

Básicamente eso de que 0.999.. es 1 sería decir que 1/10^n (0.00000....1) cuando n es infinito es 0 y eso es falso....siempre habrá un 1 al final.....

Me temo que el número 0.0...1 no existe, por eso planteaba la pregunta. Hay un número infinito de ceros después de la coma decimal, ese 1 del final carece de sentido. Los infinitos en matemáticas son complicados de manejar

xero-q escribió:Básicamente eso de que 0.999.. es 1 sería decir que 1/10^n (0.00000....1) cuando n es infinito es 0 y eso es falso....siempre habrá un 1 al final.....

1/∞ = 0 (es matemáticamente así, no es mi opinión). De hecho, cualquier número dividido por infinito es cero, por definición (excepto ∞/∞, que es una indeterminación)

por lo tanto

1/10^∞ = 0

Otras indeterminaciones, ya que estamos

n/0, 0/0, ∞/∞, ∞-∞, ∞·0, 1^∞, 0^∞, ∞^0 y 0^0

Leyendo los enlaces que han puesto al principio creo que las matemáticas del instituto no llegan para poder hablar de esto.

@xero-q una cosa que creo que a lo mejor te está confundiendo: 0.99... no es una serie ni una función, es un número, por lo que creo que no tiene sentido hablar de límites.

Albedrío 1.0 escribió:r representa un número real. Quizas no es la notación correcta.

X, supongo, representa una incógnita. Así que 0,99999. Dos números, si al restarlos son igual a cero, es que son el mismo número.

Pero aquí estamos hablando de un número que es 1-0,9999 (llámalo j) y se dice que al restar 1 de  j  el resultado es 1. Si restamos 1 de j mil veces, el resultado es cero. Si restamos 1 de j infinitas veces, también es cero y mi razonamiento es que hay infinitos números iguales entre sí (que represento por n) tal que 1-nj =1 siendo n también cualquier número racional (aunque n se usa para naturales, pero para el caso nos sirve)...  si decimos que j = 0, entonces nos queda que 1-n*j =0  o lo que es lo mismo 1=0 y como eso es absurdo, pues no puede ser que 1=0,99999

A ver, con más calma.

Tenemos 1-0,999. Digamos que el resultado de ese número es j. Claro que aquí estamos asumiendo que es distinto de 0.

Entonces si restamos sucesivamente 1- j nos dará otro número k. Si restamos 1-2*j nos dará otro número m... así hasta completar todos los números reales.

La cuestión es aceptar o no la premisa de que 1 y 0,999 son el mismo número o no.

Si lo hacemos con fracciones seria 1 -(2*(1-1/3*3)) con lo que no se cumpliría 1- j=1 => j=0

Lo que no me termina de convencer es que 1/3*3 = 0,999

y como se justifica que (a,b) = [a,b] cuando la definición de intervalo abierto y cerrado contradice esta igualdad.

Sigo sin entender tu razonamiento. Entiendo que quieres demostrar que 1 > 0.99.. por reducción al absurdo, pero no acabo de ver el absurdo.

Hay otras formas de demostrar que 1 = 0.99.. , por ejemplo, expresando 0.99.. como una serie convergente:

0.99.. = 9/10 + 9/100 + 9/1000 + ...
= (9/10)^1 + (9/10)^2 + (9/10)^3 ...
= 9*(1/10)^1 + 9*(1/10)^2 + 9*(1/10)^3 ...

Siendo una serie convergente, se cumple que:
a*r^1 + a*r^2 + a*r^3 ... = a*r/(1-r)
siendo a = 9 y r = 1/10
por lo tanto
0.99.. = 9*(1/10)/(1- 1/10)
= (9/10) / (9/10)
= 1

Personalmente, no elegiría el termino demostración (matemática) con la intención de determinar si 0,9...=1. Que, en buena parte, fue la intención de este planteo. A mi entender actual, la conclusión remite la razón a definiciones/propiedades (en síntesis: convenios matemáticos). Ergo: las demostraciones que planteo (y refuto como tales en mi link) y cualquier otra, solo son pseudo-demostraciones.