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Doallo
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¿Nuevas identidades matemáticas? Empty ¿Nuevas identidades matemáticas?

el Vie Jul 24 2015, 15:40
Quede claro que todavía no soy muy ducho en esta ciencia formal (he retomado su estudio hace escasos meses después de cuatro años), pero hace unos días estaba jugueteando con las potencias perfectas y llegué a la siguiente conclusión:

Cuando {a|a ∈ ℕ} se cumple que

A)   [(a + 2)² - (a + 1)²] - [(a + 1)² - a²] - 2! = 0

B)  {[(a + 3)³ - (a + 2)³] – [(a + 2)³ -(a + 1)³]} - {[(a + 2)³ -(a + 1)³] – [(a + 1)³ - a³]} – 3! = 0

Esta identidad también se puede aplicar al resto de potencias de grado n siendo 2n + 1 el número de binomios agrupados en grupos de 2 (salvo el último término que siempre es un monomio) y n! diferencia final después de resolver todos los paréntesis, corchetes y llaves, es decir, las potencias a la cuarta tendrían la misma estructura pero con (4*2) + 1 binomios y 4! como diferencia final.

No sé si alguien antes había descubierto esto, supongo que sí, pero lo cierto es que, me mantuvo una tarde entera bien entretenido.
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Noelga
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¿Nuevas identidades matemáticas? Empty Re: ¿Nuevas identidades matemáticas?

el Sáb Jul 25 2015, 12:07
No sé si se había descubierto ya, o es una fórmula derivada de otras, pero me parece interesante lo que has desarrollado.
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el Sáb Jul 25 2015, 14:52
Escribe el genérico. Y creo que para postureo te queda mejor igualar una cosa a otra en vez de a cero. A ver que tal queda. Yo observo Cool
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¿Nuevas identidades matemáticas? Empty Re: ¿Nuevas identidades matemáticas?

el Sáb Jul 25 2015, 15:36
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el Sáb Jul 25 2015, 15:58
[Tienes que estar registrado y conectado para ver este vínculo] escribió:No sé si se había descubierto ya, o es una fórmula derivada de otras, pero me parece interesante lo que has desarrollado.

Pues nada, me reservo la idea para algún posible proyecto ^^

[Tienes que estar registrado y conectado para ver este vínculo] escribió:Escribe el genérico. Y creo que para postureo te queda mejor igualar una cosa a otra en vez de a cero. A ver que tal queda. Yo observo Cool

He intentado generalizar la expresión al máximo, pero no sé ni siquiera si es posible porque las llaves, corchetes y paréntesis son fundamentales para que se cumpla la identidad y cuanto mayor es el grado de los binomios, más binomios hay. Veamos cómo quedan las expresiones igualadas la una a la otra:

[(a + 2)² - (a + 1)²] - [(a + 1)² - a²] - 2! = {[(a + 3)³ - (a + 2)³] – [(a + 2)³ -(a + 1)³]} - {[(a + 2)³ -(a + 1)³] – [(a + 1)³ - a³]} – 3!

...Imponente, no? Laughing

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el Mar Jul 28 2015, 20:34
[Tienes que estar registrado y conectado para ver este vínculo] escribió:Doallo, date cuenta en A)

Restas dos veces (a+1)^2, pudiendolo poner como -2(a+1)^2.

En B), vuelves a repetir términos que podrían estar agrupados.

B)  {[(a + 3)³ - (a + 2)³] – [(a + 2)³ -(a + 1)³]} - {[(a + 2)³ -(a + 1)³] – [(a + 1)³ - a³]} – 3! = 0

Gracias, Erasmo, era algo evidente en lo que no había caído. La cosa queda mucho más simple y elegante:

(a+2)² -2(a+1)² +a² - 2! = (a+3)³ - 3(a+2)³ +3(a+1)³ - a³ - 3!

Aun así, sigo sin ser capaz de generalizarla para cualquier potencia
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el Miér Jul 29 2015, 23:19
Ahora cambia el 2 y el 3 por n y n+1 o por n-1 y n. Y supongo que asocia el resto de terminos con un sumatorio. No me apetece pensar. Otro día xD
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el Jue Jul 30 2015, 00:36
[Tienes que estar registrado y conectado para ver este vínculo] escribió:Ahora cambia el 2 y el 3 por n y n+1 o por n-1 y n. Y supongo que asocia el resto de terminos con un sumatorio. No me apetece pensar. Otro día xD

Ya he sustituido los números por n, pero como la expresión se expande al variar el grado, no sé cómo aplicar un sumatorio xD
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el Jue Jul 30 2015, 01:19
No he leído muy detenidamente el primer mensaje, por lo tanto igual me confundo con la serie. Entiendo que  seguiría con n=4 -> (a+n)^n-n(a+n-1)^n+n(a+n-2)^n-n(a+n-3)^n+a^n-n!=0 ó (a+4)^4-4(a+3)^4+4(a+2)^4-4(a+1)^4+a^4-4!=0

Si es así entiendo que se podría generalizar de esta forma:
(a+n)^n + [ Σ (de i=1 a n) n (a+i)^n · (-1)^(i+1)] - n! + a^n · (-1)^n = 0

pd. Soy una inútil y no se poner potencias. A ver si al menos me sale el sumatorio. Pido a esta gente lista que se mueve por aquí que lo transcriba porfaporfa
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el Jue Jul 30 2015, 01:26
Lo he hecho un poco de memoria y creo que tengo un pequeño error o algo que mirar dentro del sumatorio con el signo cambiante. A ver si pillo un folio y pruebo si está bien. La duda es el (-1)^(i+1)
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el Jue Jul 30 2015, 02:16
[Tienes que estar registrado y conectado para ver este vínculo] escribió:Lo he hecho un poco de memoria y creo que tengo un pequeño error o algo que mirar dentro del sumatorio con el signo cambiante. A ver si pillo un folio y pruebo si está bien. La duda es el (-1)^(i+1)

He comprobado si la identidad se cumple para el grado n = 4 con la estructura que has escrito y no, no se cumple. Creo que la expansión de la expresión con grado n = 4 guarda relación con la expansión de un binomio de Newton de cuarto grado, así que ese sumatorio no nos sirve. De todas formas, nos vamos acercando al meollo de la cuestión.
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el Jue Jul 30 2015, 02:27
Pero como es con potencia 4?
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el Jue Jul 30 2015, 04:03
C =                          {0},
             
E_4 =                 {4!,      4!}
         
E_3 =            {60,     84,     108}
     
E_2 =        {50,    110,    194,     302}
 
E_1 =   {15,     65,    175,     369,     671}

B =    {1,     16,     81,     256,      625,     1296}


Dada la anterior pirámide P ⊂ B, E_1, E_2, E_3, E_4, C


-B = {1^4, 2^4, 3^4, 4^4, 5^4, 6^4}

-E_1 = {(2^4 - 1^4), (3^4 - 2^4), (4^4 - 3^4), (5^4 - 4^4), (6^4 - 5^4)}

-E_2 = {((3^4 - 2^4) - (2^4 - 1^4)), ((4^4 - 3^4) - (3^4 - 2^4)), ((5^4 - 4^4) - (4^4 - 3^4)), ((6^4 - 5^4) - (5^4 - 4^4))}

-E_3 = {(((4^4 - 3^4) - (3^4 - 2^4)) - ((3^4 - 2^4) - (2^4 - 1^4))), (((5^4 - 4^4) - (4^4 - 3^4)) - ((4^4 - 3^4) - (3^4 - 2^4))), (((6^4 - 5^4) - (5^4 - 4^4)) - ((5^4 - 4^4) - (4^4 - 3^4)))}

-E_4 = {((((5^4 - 4^4) - (4^4 - 3^4)) - ((4^4 - 3^4) - (3^4 - 2^4))) - (((4^4 - 3^4) - (3^4 - 2^4)) - ((3^4 - 2^4) - (2^4 - 1^4)))), ((((6^4 - 5^4) - (5^4 - 4^4)) - ((5^4 - 4^4) - (4^4 - 3^4))) - (((5^4 - 4^4) - (4^4 - 3^4)) - ((4^4 - 3^4) - (3^4 - 2^4))))}

C = {(((((6^4 - 5^4) - (5^4 - 4^4)) - ((5^4 - 4^4) - (4^4 - 3^4))) - (((5^4 - 4^4) - (4^4 - 3^4)) - ((4^4 - 3^4) - (3^4 - 2^4)))) - ((((5^4 - 4^4) - (4^4 - 3^4)) - ((4^4 - 3^4) - (3^4 - 2^4))) - (((4^4 - 3^4) - (3^4 - 2^4)) - ((3^4 - 2^4) - (2^4 - 1^4)))))}

Qué cosa más cansina, por Dios, aunque explica bastante bien la relación entre las potencias de grado n y el factorial n!
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el Jue Jul 30 2015, 12:54
Pues claro que no se cumple, porque segun tus signos la has escrito mal despues de las indicaciones de erasmo. Ojo con los signos.
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el Jue Jul 30 2015, 13:49
[Tienes que estar registrado y conectado para ver este vínculo] escribió:Pues claro que no se cumple, porque segun tus signos la has escrito mal despues de las indicaciones de erasmo. Ojo con los signos.

(a+2)² -2(a+1)² +a² - 2! = (a+3)³ - 3(a+2)³ +3(a+1)³ - a³ - 3!

¿Esto está mal?
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Willy
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el Lun Ago 03 2015, 20:16
[Tienes que estar registrado y conectado para ver este vínculo] escribió:
A)   [(a + 2)² - (a + 1)²] - [(a + 1)² - a²] - 2! = 0

No he mirado la segunda, pero esta ecuación, si no la he cagado en algún paso, da como resultado que a es igual a la raíz cuadrada de -1... O sea, que a muy natural no es... Smile
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el Mar Ago 04 2015, 01:07
[Tienes que estar registrado y conectado para ver este vínculo] escribió:
[Tienes que estar registrado y conectado para ver este vínculo] escribió:
A)   [(a + 2)² - (a + 1)²] - [(a + 1)² - a²] - 2! = 0

No he mirado la segunda, pero esta ecuación, si no la he cagado en algún paso, da como resultado que a es igual a la raíz cuadrada de -1... O sea, que a muy natural no es... Smile

No es una ecuación, Willy, sino una identidad, lo que quiere decir que a la variable a se le puede asignar cualquier valor de los números naturales, y bueno, no sé de dónde has sacado raíz cuadrada de 1, quizás también se pueda aplicar a los números irracionales, luego lo probaré con pi, pero de momento aquí te dejo la demostración generalizada:

[(a + 2)² - (a + 1)²] - [(a + 1)² - a²] - 2! = 0

[(a² + 2(a2) + 2²) - (a² + 2(a1) + 1²)] - [(a² + 2(a1) + 1²) - a²] - 2*1 = 0

[(a² + 4a + 4) - (a² + 2a + 1)] - [(a² + 2a + 1) - a²] - 2 = 0

(a² + 4a + 4 - a² - 2a - 1) - (a² + 2a + 1 - a²) - 2 = 0

a² + 4a + 4 - a² - 2a - 1 - a² - 2a - 1 + a² - 2 = 0

2a² - 2a² + 4a - 2a -2a + 4 - 1 - 1 - 2 = 0

0 = 0

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Willy
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el Mar Ago 04 2015, 07:00
Ves? había metido la pata en un signo, por eso me salía ese resultado Smile

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