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Disperso
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Qué pasaría si cayéramos por un túnel que atravesara la tierra Empty Qué pasaría si cayéramos por un túnel que atravesara la tierra

el Jue Oct 02 2014, 21:01
GNatalia
GNatalia
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Qué pasaría si cayéramos por un túnel que atravesara la tierra Empty Re: Qué pasaría si cayéramos por un túnel que atravesara la tierra

el Vie Oct 03 2014, 09:41
No estoy de acuerdo para nada. Tampoco es que tenga muchos conocimientos de física, pero creo que nos quedaríamos atrapados en el centro. Una vez llegásemos al centro, la tierra tiraría hacia nosotros hacia todas las direcciones y no podríamos caer por nuestro propio peso hacia ningún sitio, ya que la gravedad te atraiga hacia el centro de la tierra o te empuje hacia el mismo, habría llegado "a su objetivo", y te mantendría en el centro. Si la rotación de la tierra se hace de manera que el agujero excavado se queda siempre de la misma forma, nos quedaríamos como estamos, y si gira y ejerce alguna fuerza ¿centrífuga? (no sé si se denomina así exactamente) seguiríamos estando en punto muerto, y en cualquier caso, al modificarse la orientación del agujero no podríamos avanzar hacia ninguno de los lados.

No sé si se me entiende bien....
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Willy
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Qué pasaría si cayéramos por un túnel que atravesara la tierra Empty Re: Qué pasaría si cayéramos por un túnel que atravesara la tierra

el Vie Oct 03 2014, 09:48
Pienso que es un término medio entre ambas. Lo que se produciría es un movimiento en péndulo que terminaría quedándose quieto.
La explicación del artículo no tiene en cuenta que no existe el movimiento perpetuo, que siempre habrá, como mínimo, el rozamiento con el aire, que nos haría perder energía en la caída, por lo tanto no llegaríamos al otro lado del tunel, nos quedaríamos un poco antes, luego caeríamos otra vez hacia el otro lado del túnel, nos quedaríamos aún más lejos del extremo, y así hasta quedarnos quietos en el centro. Vamos, que lo que decía, como un péndulo.

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m_bajasolicitada
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Qué pasaría si cayéramos por un túnel que atravesara la tierra Empty Re: Qué pasaría si cayéramos por un túnel que atravesara la tierra

el Vie Oct 03 2014, 10:46
@Willy escribió:Pienso que es un término medio entre ambas. Lo que se produciría es un movimiento en péndulo que terminaría quedándose quieto.
La explicación del artículo no tiene en cuenta que no existe el movimiento perpetuo, que siempre habrá, como mínimo, el rozamiento con el aire, que nos haría perder energía en la caída, por lo tanto no llegaríamos al otro lado del tunel, nos quedaríamos un poco antes, luego caeríamos otra vez hacia el otro lado del túnel, nos quedaríamos aún más lejos del extremo, y así hasta quedarnos quietos en el centro. Vamos, que lo que decía, como un péndulo.

Yo he llegado a la misma conclusión Up
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Willy
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Qué pasaría si cayéramos por un túnel que atravesara la tierra Empty Re: Qué pasaría si cayéramos por un túnel que atravesara la tierra

el Vie Oct 03 2014, 10:56
Propongo un reto: ¿cuál sería la velocidad que tendríamos al llegar al centro de La Tierra?
Elisewin
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Qué pasaría si cayéramos por un túnel que atravesara la tierra Empty Re: Qué pasaría si cayéramos por un túnel que atravesara la tierra

el Vie Oct 03 2014, 11:49
Relativa al movimiento de la tierra, cero en mi opinión. Pero como nos desintegraríamos mucho antes de llegar, realmente me parece que hablar de velocidad es por lo menos un eufemismo.
Hamlet
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Qué pasaría si cayéramos por un túnel que atravesara la tierra Empty Re: Qué pasaría si cayéramos por un túnel que atravesara la tierra

el Vie Oct 03 2014, 12:58
Es un problema de primero de física.

Por algo llamado teorema de Gauss (que también se puede aplicar al campo gravitatorio, pues tiene la misma expresión que el electrostático), la divergencia del campo gravitatorio es igual a la densidad de masa (con una constante de proporcionalidad). Por tanto, si integramos, el flujo del campo gravitatorio a traves de una superficie es igual a la masa total dentro de la superficie.
Supongamos, entonces, que aplicamos el teorema a una superficie esférica que cubra toda la Tierra: tendriamos g*4*pi*r^2=M (el área de una una esfera es 4*pi*r^2), y así el campo gravitatorio disminuye con el cuadrado de la distancia (como probó Newton). Sin embargo, supongamos que usamos una superficie gaussiana dentro de la propia Tierra, y por simplicidad que la densidad de la Tierra es uniforme: entonces, ponemos en la masa acumulada = densidad*volumen de una esfera. Como el volumen de una esfera va con r^3, al final tenemos que el campo gravitatorio dentro de la Tierra aumenta linealmente con r. Esto equivale a decir que el potencial seria cuadrático, lo mismo que un resorte (ley de Hooke). Así, si cayésemos por un tunel muy delgado que atravesara la Tierra de extremo a extremo, pasando por el centro, el resultado sería una oscilación armónica (el periodo se podría calcular fácilmente), con velocidad máxima al pasar por el centro de la Tierra y mínima al llegar al otro polo. Y así oscilaríamos eternamente cual si fuera un resorte; si incluimos el efecto de resistencia del aire, la solución sería un oscilador amortiguado, y al cabo de un tiempo, acabaríamos en el centro como punto de equilibrio.
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Willy
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Qué pasaría si cayéramos por un túnel que atravesara la tierra Empty Re: Qué pasaría si cayéramos por un túnel que atravesara la tierra

el Vie Oct 03 2014, 13:15
Sastamente Hamlet. Y eso de que el periodo se puede calcular fácilmente? Hay que tener en cuenta que la gravedad no es constante...

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Elisewin
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Qué pasaría si cayéramos por un túnel que atravesara la tierra Empty Re: Qué pasaría si cayéramos por un túnel que atravesara la tierra

el Vie Oct 03 2014, 14:15
Pero en estado estacionario, cero... Happy
Hamlet
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Qué pasaría si cayéramos por un túnel que atravesara la tierra Empty Re: Qué pasaría si cayéramos por un túnel que atravesara la tierra

el Vie Oct 03 2014, 14:42
Willy, el periodo es T=sqrt(3*pi/G*rho); donde G es la constante de gravitación universal y rho la densidad media de la Tierra. Acabo de hacer los cálculos...
Hamlet
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Qué pasaría si cayéramos por un túnel que atravesara la tierra Empty Re: Qué pasaría si cayéramos por un túnel que atravesara la tierra

el Vie Oct 03 2014, 14:51
Que viene a ser (despreciando la fricción con el aire), 1.4 horas. Es decir, unos 42 minutos de ir del polo Norte al Sur. Curiosamente, el resultado no depende del radio del planeta! Tan sólo de su densidad.
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Willy
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Qué pasaría si cayéramos por un túnel que atravesara la tierra Empty Re: Qué pasaría si cayéramos por un túnel que atravesara la tierra

el Vie Oct 03 2014, 15:29
Y si despreciamos el rozamiento, qué velocidad llevaríamos al pasar por el centro de La Tierra?

Se podría plantear en términos de energía? Es decir, usando el principio de conservación de la energía, tenemos que la suma de las energías potencial y cinética en la superficie de La Tierra (Ep0 + Ec0) ha de ser igual que sus sumas en el centro de La Tierra (EpC + EcC)

La energía potencial es Ep = mgh
siendo m = masa, g = gravedad, h = altura
En la superficie de La Tierra (Ep0)
g = 9.8 m/s
h = radio de La Tierra = 6371000 m
Ep0 = m*9.8*6371000

En el centro (EpC)
g = 0
h = 0
EpC = 0

La energía cinética es Ec = 1/2 mv^2
siendo m = masa y v = velocidad

En la superficie de La Tierra (Ec0)
v = 0
Ec0 = 0

En el centro de La Tierra (EcC)
v = lo que queremos calcular
EcC = 1/2*m*v^2

Como decíamos, Ep0 + Ec0 = EpC + EcC según el principio de conservación de la energía, así que:

m*9.8*6371000 + 0 = 0 + 1/2*m*v^2

v = sqrt(9.8*6371000*2) = aprox. 11100 m/s

El temazo gordo es que no acabo de ver cómo calcular cuánto tiempo se tardaría en llegar al centro de esta manera (que ni siquiera sé si es correcta, por cierto). Al ser un movimiento rectilíneo con aceleración variable (la gravedad va disminuyendo desde la superficie hasta llegar al centro en el que es 0) me pierdo Embarassed

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Elisewin
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Qué pasaría si cayéramos por un túnel que atravesara la tierra Empty Re: Qué pasaría si cayéramos por un túnel que atravesara la tierra

el Vie Oct 03 2014, 17:11
Qué sexy estás crr.

Willy, 11100 m/s? ¿más de 3 veces la velocidad del sonido? Me parece que es incorrecto proponer una ecuación algebraica tipo Bernoulli si la gravedad no es constante. Esa igualdad que propusiste supone que g es constante. No es cierto eso.

A mi me parece que no podes proponerlo como una ecuación algebraica y tiene que ser una diferencial, porque g no es constante, pero la verdad es que no sé, para que te de un movimiento que puedas asemejar a un péndulo (un movimiento oscilatorio) tendrías que proponer una diferencial de segundo orden donde las raíces de la ecuación característica son complejas conjugadas.
Y ¿Despreciarías el rozamiento durante la caída o no? porque en realidad para que sea amortiguado (de modo que tienda a cero en estado estacionario) tendrías que tener término de primer orden.
Como bien lo ha dicho Hamlet antes (no lo había leído, estoy editando...)
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Qué pasaría si cayéramos por un túnel que atravesara la tierra Empty Re: Qué pasaría si cayéramos por un túnel que atravesara la tierra

el Vie Oct 03 2014, 17:21
MMhh. A mi me parece que el período de oscilación sería la raíz cuadrada de (9,81/Rt) siendo Rt el radio de la tierra en m, suponiendo que la variación de g con r es lineal y que g(Rt)=9,81 y g(0)=0. Esto es independiente de que haya o no rozamiento. El rozamiento lo único que hace es producir el amortiguamiento (que vaya disminuyendo la amplitud). Uso SI.

Yo propongo una ecuación simple tipo masa * aceleración = - masa * g(r). Es un movimiento rectilíneo. Si vamos a considerar el efecto de la rotación de la tierra... bueno... ahi medio que cambia la cosa jaja.
Hamlet
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Qué pasaría si cayéramos por un túnel que atravesara la tierra Empty Re: Qué pasaría si cayéramos por un túnel que atravesara la tierra

el Vie Oct 03 2014, 18:54
En realidad, para calcular la velocidad, lo podéis hacer más fácil si recordais que el potencial va con el cuadrado de la distancia al centro. Por tanto, Ep=mgh es incorrecto, lleva a un resultado erróneo...
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Willy
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Qué pasaría si cayéramos por un túnel que atravesara la tierra Empty Re: Qué pasaría si cayéramos por un túnel que atravesara la tierra

el Vie Oct 03 2014, 19:18
@Hamlet escribió:En realidad, para calcular la velocidad, lo podéis hacer más fácil si recordais que el potencial va con el cuadrado de la distancia al centro. Por tanto, Ep=mgh es incorrecto, lleva a un resultado erróneo...

AAaaaaaamigo. Ahí estaba mi craso errorrr. Y ahora te entiendo Elisewin.
Ep = mgh es para variaciones insignificantes de la gravedad, lo que no es aplicable en este caso, así que la fórmula que hay que usar es:

U = - GMm/r

http://es.wikipedia.org/wiki/Energ%C3%ADa_gravitatoria

Qué burrín soy Smile

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Qué pasaría si cayéramos por un túnel que atravesara la tierra Empty Re: Qué pasaría si cayéramos por un túnel que atravesara la tierra

el Vie Oct 03 2014, 19:23
Para mí, si vamos a hacer tantas simplificaciones es más fácil considerarlo un problema de caída libre con g variando con la distancia al centro de la Tierra.

Pero no digo que esté bien, sólo que lo he pensado así.

Luego les pongo el mismo problema considerando rozamiento.

(No puedo cargar la imagen, luego edito y la agrego)
Hamlet
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Qué pasaría si cayéramos por un túnel que atravesara la tierra Empty Re: Qué pasaría si cayéramos por un túnel que atravesara la tierra

el Vie Oct 03 2014, 19:49
Exacto, el potencial Ep=mgh es para pequeñas variaciones en la superficie de la Tierra, y no aplica para este problema. En cambio, Ep=-GM(r)/r; ahora bien, en este problema en particular, M(r) no es una constante, sino una función del radio: cuando r=Radio de la Tierra, M coincide con la masa de la Tierra, mientras que M(0)=0 (en el centro de la Tierra).
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Qué pasaría si cayéramos por un túnel que atravesara la tierra Empty Re: Qué pasaría si cayéramos por un túnel que atravesara la tierra

el Vie Oct 03 2014, 19:54
Qué pasaría si cayéramos por un túnel que atravesara la tierra 1800380_863902230301603_5583492943944459241_n

m es la masa del objeto que cae, no la masa de la Tierra. Y donde está "n Pi/2" deberia aclarar "n impar" o haber puesto (2n-1) para todo n.
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Qué pasaría si cayéramos por un túnel que atravesara la tierra Empty Re: Qué pasaría si cayéramos por un túnel que atravesara la tierra

el Vie Oct 03 2014, 20:02
Elisewin, tienes una errata: en la segunda página, la velocidad no sería coseno, sino seno. Ve a la primera página, si B=0 por las condiciones de inicio, v=-Asin...
Luego la velocidad en el centro (h=0) no puede ser cero, está mal. De hecho, en el centro la velocidad es precisamente el valor máximo (al anularse el coseno, el seno es máximo).
Elisewin
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Qué pasaría si cayéramos por un túnel que atravesara la tierra Empty Re: Qué pasaría si cayéramos por un túnel que atravesara la tierra

el Vie Oct 03 2014, 20:09
A ver... siiii tenes razon. Me equivoqué al copiarla  porque miré arriba en la condición inicial y no en la ecuación, ese es el término que se va, jaja. Daría la raiz de Rt*9,81 con Rt en metros.... más o menos 7900 m/s. Joder, que era rápido también. Ahora lo arreglo.

Y lo hice también agregando en la ecuación diferencial un término que se oponga a mg que es cv, donde v es la velocidad. Ahi te queda una EDO de segundo orden con amortiguación, pero me da pereza tomar foto y subirla.
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Qué pasaría si cayéramos por un túnel que atravesara la tierra Empty Re: Qué pasaría si cayéramos por un túnel que atravesara la tierra

el Lun Ene 12 2015, 23:12
Pues sin tener demasiados conocimientos de física, la lógica me lleva a pensar como GNatalia y Willy. Lo pensé al ver la pregunta enunciada sin leer el articulo, que, te quedarías atrapado en el centro de la tierra por el efecto de la gravedad de cualquier manera. Tal vez, por el efecto Coriolis, si fuese por puntos del Ecuador, tardarías un poco más, pero, al final, el efecto de la gravedad te seguiría tirando hacia el centro y bajarías rozando la pared, hasta que tuvieras la masa del planeta por encima tuya, es decir, al llegar al centro. Qué cosa más curiosa. El artículo me ha parecido muy interesante.
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