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el Vie Ago 29 2014, 09:29
Hola,

alguién conoce la teoría de categorías de matemáticas y le gustaría hablar de ella, sobre todo como algo que permite algo más que la teoría de conjuntos.

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el Vie Ago 29 2014, 14:56
Hola,

@Erasmo escribió:
Encantado de hacerlo nuelsp. ¿Es usted matemático?

Ah no, sólo estudié ingeniería. Pero el sentido de mi mensaje no es que yo quisiera hablar de la cuestión porque sepa (Me he intentado informar pero por el momento sólo estoy bastante confuso), sino que si otro supiera quisiera informar.

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el Sáb Ago 30 2014, 10:06
Hola,

Gracias Yves por los enlaces.

***

Resumiendo lo que he podido averiguar por el momento:

En principio el principal competidor para una construcción global de las matemáticas (Fundamentación o "Foundation" como se dice en inglés) a la teoría de conjuntos dentro de la teoría de categorías son los llamados "elementary topoi" ("Topos" en singular, "Toposes" o "Topoi" en plural).

En este artículo de Wikipedia, en "Introduction" de "Elementary topoi (topoi in logic)" se presenta la cuestión:
http://en.wikipedia.org/wiki/Topos

Desde luego son una visión alternativa de las cosas (Y ya por eso son interesantes), ¿pero aparte eso permiten ir más allá de lo que permite la fundamentación clásica de la teoría de conjuntos?

La única presentación clara en ese sentido que he encontrado por el momento es la de la matemática italiana Olivia Caramello.

Su presentación está aquí:
http://www.oliviacaramello.com/Unification/Unification.htm

Según ella un tipo especial de categorías, los topos de Grothendieck (De hecho los primeros topos que se concibieron, los "elementary toposes" son una generalización de ellos), permiten algo que no permite la teoría de conjuntos y de hecho tampoco los "elementary toposes".  Eso especial que permiten los "Grothendieck toposes" y no la teoría de conjuntos ni los "elementary toposes" ella lo llama transferencia dinámica de información entre teorías.

En esta página presenta su propuesta:
http://www.oliviacaramello.com/Unification/GeneralIntroduction.html

Como dice en los dos primeros parágrafos las matemáticas tienen diferentes áreas que se desarrollaron y desarrollan por separado pero que con el tiempo se ha descubierto que se pueden relacionar fructíferamente, ¿hay una herramienta que pudiera formalizar esto y que por lo tanto permitiera la unificación de las matemáticas por estas interrelaciones o puentes o "bridges" como llama ella?:
"Mathematics consists of several distinct areas: Algebra, Geometry, Analysis, Topology, Number Theory etc. Each of these areas has evolved throughout the years by developing its own ideas and techniques, and has reached by now a remarkable degree of specialization. With time, various connections between the areas have been discovered, leading in some cases to the creation of actual 'bridges' between different mathematical branches; think for example to analytic geometry, which allows to study geometrical shapes by using algebraic manipulation, or to algebraic geometry, algebraic topology, differential topology and differential geometry. In each of these cases, methods of one field have been employed to derive results in another, and this interplay of different points of view in a same subject has always had a fundamental role in illuminating the nature of concepts, establishing new results and suggesting new lines of investigation.

There are more and more instances of specialists in one field of Mathematics trying to find solutions to specific problems which apparently fall within the domain of their field, but instead fit much more naturally to different frameworks. It has happened several times that solutions to profound problems in one field have first, or only, been obtained by using methods from other fields, and this indicates that Mathematics should be seen as a coherent whole rather than as a collection of separate fields. To have an idea of this phenomenon, take for example analytic geometry; this theory provides a bridge between algebra and geometry, which can be fruitfully used to investigate problems both of algebraic and geometric nature. Indeed, it is often the case that certain algebraic properties of equations are best understood by using the geometrical intuition or conversely that certain geometrical properties are better investigated with the help of algebra."

En estos parágrafos es donde presenta la limitaciones de teoría de conjuntos y de los "elementary toposes" (Aunque no los cita explicitamente como tales), frente a los "Grothendieck toposes":
"By providing a system in which all the usual mathematical concepts can be expressed rigorously, Set Theory has represented the first serious attempt of Logic to unify Mathematics at least at the level of language. Later, Category Theory offered an alternative abstract language in which most of Mathematics can be formulated and, as such, has represented a further advancement towards the goal of 'unifying Mathematics'. Anyway, both these systems realize a unification which is still limited in scope, in the sense that, even though each of them provides a way of expressing and organizing Mathematics in one single language, they do not offer by themselves effective methods for an actual transfer of knowledge between distinct fields.

The kind of unification realized by these theories can be considered static, in the sense that it is achieved through a process of generalization, which allows to regard different concepts as particular cases of a more general one but does not offer by itself a way for transferring information between them:"

"On the other hand, the methodologies of topos-theoretic nature introduced in our work provide a systematic way for comparing distinct mathematical theories with each other and transferring knowledge between them. They are based on the use of abstract concepts called (Grothendieck) toposes as sorts of 'bridges' for transferring knowledge between different mathematical theories.

In fact, this latter methodology represents an instance of a different kind of unification, no longer based on the idea of generalization but rather on that of the construction of a 'bridge object' connecting to each other two given concepts.

This latter kind of unification, which we call dynamical unification (since it allows a 'dynamical' transfer of information between the two given objects), is characterized by the fact that two distinct objects are related to each other through a third one, which can be associated or constructed from each of them separately and which admits two different representations, each of which corresponding to a different method of constructing it. Such an object acts as a 'bridge' between the two given object in the sense that information can be transferred between the two objects by translating properties (resp. constructions) of the bridge object into properties of (resp. constructions on) the two objects, by exploiting the two different representations of the bridge object:"

Aquí presenta las limitaciones para transferencia dinámica de información entre teorías de los "elementary toposes" frente a los "Grothendieck toposes":
http://www.oliviacaramello.com/Unification/HistoricalDigression.html
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el Mar Sep 09 2014, 10:50
Hola,

siguiendo con el tema de la Teoría de Categorías, como uno de los temas estrellas de este apartado del foro es la Física Cuántica, es interesante ver que lo dos temas tienen interesantes relaciones.

Pero antes de entrar con las relaciones con la Física Cuántica habría que presentar algunas cuestiones de la Teoría de Categorías a las que se hará referencia después.

La primera es presentar un poco a las categorías mismas.

Una categoría se puede presentar como una colección de objetos matemáticos o no matemáticos con unas determinadas relaciones entre ellos. En principio estas relaciones deben ser entre trios de objectos. En una categoría si un objeto X está relacionado con un objeto Y, y el objeto Y está a su vez relacionado con un objeto Z, entonces hay una relación obligatoria entre X y Z que es una composición de las dos relaciones anteriores.

Un ejemplo no matemático de esto son las relaciones familiares. Todo miembro de una familia X tendrá una relación determinada con otro miembro Y, y si hay otro miembro Z, Z se relacionará con Y de una manera determinada, y a su vez se relacionará con X de una manera que dependerá de la relación de X con Y y de Y con Z. Si X es hijo de Y, y Y es hijo de Z, X y Z tendrán la relación compuesta de las dos anteriores o sea nieto-abuelo. Si X es padre-madre de Y, y Y está casado con Z, entonces X y Z tendrán la relación suegro-hijo político.

Aunque esta propiedad fundamental se presenta con trios de objetos, una categoría puede tener de hecho un solo objeto. Por ejemplo cada grupo de la Teorías de Grupos clásica se pueden considerar como una categoría de un solo objeto donde las relaciones y sus composiciones son sus endomorfismos o automorfismos.

Los objetos de una categoría pueden ser los conjuntos clásicos de la Teoría de Conjuntos y sus relaciones las aplicaciones o mapeos clásicos de la Teoría de Conjuntos. Pero la diferencia fundamental es que en la Teoría de Categorías todo parte de las relaciones entre objetos y sus composiciones, mientras que en Teoría de Conjuntos todo parte de la relación de pertenencia ("Membership") entre un conjunto y sus elementos y de las aplicaciones o mapeos con elementos de otros conjuntos (o consigo mismo). La teoría de categorías abstrae más porque los conjuntos y sus relaciones en la Teoría de Conjuntos son un caso particular de los objetos y sus relaciones en la Teoría de Categorías.

Puede haber muchos tipos de Categorías, las que interesarán en relación con la física cuántica son: los "Toposes" o "Topoi", las "Cartesian Closed Categories", y las "Symmetric Monoidal Categories". Los "Toposes" son un particular de las "Cartesian Closed Categories", y las "Cartesian Closed Categories" son un caso particular de las "Symmetric Monoidal Categories".

Dentro de los "Toposes" o más exactamente "Elementary Toposes", que son el tipo más general de "Toposes", tenemos los "variable sets" y por otra parte los "constant sets" o "well-pointed topos". Un ejemplo de "constant set" es la categoría Set, cuyos objetos son todos los posibles conjuntos clásicos y sus relaciones todas las posibles aplicaciones o mapeos clásicos entre ellos. Cada "Topos" contiene un "Truth-Object" que responde a una lógica que puede ser clásica o booleana o no clásica. Los "constant sets" siguen una lógica clásica pero los "variable sets" no. En la lógica clásica cada variable lógica es tajantemente verdadera o falsa (tercio excluso), en las lógicas no clásicas la verdad o falsedad de las cosas es una cuestión más flotante o difusa.

Hay diferentes tipos de lógicas no clásicas (Multivaluadas, difusas, vectoriales, complejas, etc). Un ejemplo de lógica no clásica es la llamada lógica cuántica. Referencias:
http://en.wikipedia.org/wiki/Non-classical_logic
http://en.wikipedia.org/wiki/Many-valued_logic
http://en.wikipedia.org/wiki/Fuzzy_logic
http://en.wikipedia.org/wiki/Vector_logic
http://en.wikipedia.org/wiki/Quantum_logic

Un objeto de la física clásica tiene valores de posición y velocidad exactos, dos vectores de valor concreto. Pero un objeto cuántico, como expresa el famoso principio de Heisenberg, es algo donde la posición y la velocidad (y otras propiedades) son mucho más difusas las unas con respecto a las otras. Un objeto de la física clásica sigue una lógica clásica y un objeto cuántico sigue una lógica no clásica flotante o difusa.

Y bueno, buff, tras esta larga introducción llegamos a la primera propuesta concreta de relación entre Teoría de Categorías y Física Cuántica. Es de Chris Isham y Andreas Döring. Estas referencias son sólo un botón de muestra, se pueden encontrar muchas más:
http://en.wikipedia.org/wiki/Christopher_Isham
"`What is a Thing?': Topos Theory in the Foundations of Physics": http://arxiv.org/abs/0803.0417

Como se ve lo que proponen es modelizar las física clásica con el "Topos of sets" o sea la categoría Set presentada antes, con lógica clásica, mientras que la físicas no clásicas se tendrían que representar con "Toposes" de lógica no clásica.

Sin embargo por lo visto representar lo cuántico con "Toposes" tiene un problema por ejemplo desde el punto de vista del procesado de información cuántico, los computadores cuánticos de los que tanto se habla ahora:
- La información cuántica (los estados cuánticos) no se puede ni eliminar ni duplicar ("Delete", "Duplicate"):
http://en.wikipedia.org/wiki/No-cloning_theorem
http://en.wikipedia.org/wiki/Quantum_no-deleting_theorem
- Los "Toposes" son "Cartesian Closed Categories", y al representar la información cuántica mediante "Cartesian Closed Categories" la información se puede eliminar o duplicar.
- Por suerte un tipo más general de categorías, las "Symmetric Monoidal Categories", de las que las "Cartesian Closed Categories" son un caso particular, no permiten en su representación esta eliminación y duplicación de la información.
Aquí una referencia a la computación cuántica y esta cuestión del "Delete" y el  "Duplicate":
http://golem.ph.utexas.edu/category/2006/08/quantum_computation_and_symmet.html

En relación a la representación de lo cuántico con "Symmetric Monoidal Categories" como botón de muestra:
http://en.wikipedia.org/wiki/Categorical_quantum_mechanics

Para acabar un muy interesante documento:
"Physics, Topology, Logic and Computation: A Rosetta Stone": http://arxiv.org/abs/0903.0340

Refleja lo "polimórfica" que es la Teoría de Categorías, que como refleja el título se puede considerar un a piedra Rosetta de muy variadas áreas.

Y Aquí también una muy interesante presentación de la Teoría de Categorías en relación a la física moderna, se habla también de gravedad cuántica:
http://marclrey.free.fr/doc/CatNew.pdf

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el Jue Sep 11 2014, 10:03
Hola,

@Yves escribió:Me lanzo a la piscina semiciega, pero es que me resulta interesante ya que he estado tratando con cuatro tipo de perspectivas/fundamentos categoriales, y este que se esta ofreciendo es uno de ellos.

O sea, en líneas generales la teoría de las categorías es un movimiento de re-organización, re-colocación de las diferentes lógicas basada en el tratamiento de los objetos a través de sus relaciones (de relacionarse) sin oponerse a la teoría de conjuntos, que provoca las relaciones desde los objetos.

La clave de todo parece estar en la topología y en que topología y lógica son como dos caras de una misma moneda.

Porque las ideas de las categorías surgieron por los 1940 en relación a cuestiones topológicas y no fué hasta por los 1960 y los 1970 que se empezaron a utilizar en relación a lógica y teoría de modelos.

Hay topologías-lógicas nítidas como las clásicas, y otras difusas como las asociadas a lo cuántico o turbulentas como las asociadas a sistemas caóticos. Pero por suerte hay herramientas topológicas que pueden englobar los diferentes tipos.

@Erasmo escribió:Interesantísimo,  nuelsp. Desconocía lo de la piedra Rosetta, aunque si que conozco la relación entre las categorías y la física cuántica. Decisión muy acertada la de tomar como objetos a los espacios de Hilbert, y como morfismos a los operadores cuánticos. En física, también utilizamos categorías en las que los objetos son distintos espacios y el morfismo representa el espaciotiempo. Otro tipo distinto de categoría sería la que utiliza como objetos a varias partículas y los morfismos son las lineas de tiempo y sus interacciones. Ver un operador cuántico como un functor puede ser una solución para poder explicar la mecánica cuántica. Y ampliar el uso de grupos unitarios, como se hace en física de partículas, a categorías, quizás pueda suponer avances en la física cuántica. Con la teoría de categorías podríamos incluso entender mejor las teorías de cuerdas y la LQG (Loop Quantum Gravity).Esta última la veo bastante acertada.Rovelli hace muchos avances...Y el señor Maldacena

De nuevo la clave sería la topología. La topología es la herramienta que permite pensar la física de manera más orgánica e integrada.

Las categorías surgieron como algo que la topología necesitaba para potenciarse. Seguramente marcos más clásicos la encorsetan.

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