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sjah8
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El 0.9 periódico. Empty El 0.9 periódico.

el Vie Feb 07 2014, 14:34
Hola, compañeros.

Hace ya unos años, entre 2007-2008, leí un artículo en Meneame que me llamó la atención. No era algo muy "emocionante": eran distintas demostraciones matemáticas que indicaban algo que resulta "obvio". Como voy a mencionar varias veces el concepto "0.9 periódico", entendiendo esto como 0.9999..., para ser más breve lo denotaré por "0.9#".

Esto lo conoceréis. En el contexto de los números reales R (lo resalto para que se sobreentiendan todas las propiedades de los números que trataré), 0.9# = 1.

Algo tan evidente y demostrado de tantísimas formas distintas, por algún motivo, no me gustó. Por mi cuenta estuve días y días ensuciando folios tratando de encontrar un argumento que contradijese esa igualdad. Lo llevé a debate, debates de los que siempre salía perdiendo (y aprendiendo), hasta dejar el asunto en "pause": tras todas las pruebas enumeré varios enfoques, sin detallar, por los que "quizá" se podría atajar el problema.

Varios años más tarde, en el Campus universitario, tomé un café con una amiga, compañera de carrera pero en el último curso y uno de los doctores en el departamento de Topología. Un doctor joven, por cierto. No recuerdo cómo salió el tema pero el doctor comentó que tanto él como su compañera de despacho, también doctora en Álgebra y Topología, andaban investigando una "supuesta chorrada".

¿Cuál iba a ser mi sorpresa? Que estaban trabajando en la igualdad 0.9# = 1. Recuerdo sus palabras: nosotros no lo vemos tan claro. Enseguida confesé mis aventuras y fui invitado a pasar por el despacho y revisar el asunto. Fueron, para mí, los meses más emocionantes a nivel intelectual que recuerdo. Ellos ya utilizaban ordenadores, incluso algún lenguaje de programación que me era totalmente ajeno (y yo que pensaba que con LATEX ya iba servido).

Ese cuatrimestre suspendí todas las asignaturas. Mi mente sólo estaba en eso (y en cosas privadas de mi vida, claro). Pasaron una serie de cosas personales y tuve que abandonar la universidad temporalmente. Cuando la retomé, a distancia, ese tema quedó -para mí- encerrado en el baúl de los proyectos fallidos.

Ahora, novatillo del foro, emocionado porque aquí se puede hablar con vosotros a niveles que no se pueden tratar en otros sitios, por norma general, ¿qué os sugiere la igualdad 0.9# = 1? ¿Pensáis -o intuis- que puede existir alguna vía para demostrar que no es cierto o que existe algún contexto en el que no se cumpla (sin salirse de R, aunque usando herramientas no necesariamente de R?

Saludos.

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Willy
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el Vie Feb 07 2014, 14:52
La demostración de la igualdad es esta, verdad?:

1/9 = 0.1#
9*(1/9) = 9*(0.1#)
1 = 0.9#

Está complicao rebatir eso.
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el Vie Feb 07 2014, 15:11
[Tienes que estar registrado y conectado para ver este vínculo] escribió:La demostración de la igualdad es esta, verdad?:

1/9 = 0.1#
9*(1/9) = 9*(0.1#)
1 = 0.9#

Está complicao rebatir eso.

Es una de muchas, Willy. Incluso hay un artículo en Wikipedia dedicado íntegramente a diversas demostraciones. Parece imposible... pero como las Matemáticas dan tanto juego... no sé. Ya digo: en el fondo es "absurdo". Pero lo llegamos a investigar (no sé qué fue de estos dos doctores).
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Manouche
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el Vie Feb 07 2014, 15:20
Hay más 'absurdeces' de ese estilo. Las sumas de series (divergentes) son curiosas. Por ejemplo, la suma de la serie de los naturales 1, 2, 3, 4,... hasta infinito da -1/12. Casi na
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el Vie Feb 07 2014, 15:27
[Tienes que estar registrado y conectado para ver este vínculo] escribió:Hay más 'absurdeces' de ese estilo. Las sumas de series (divergentes) son curiosas.  Por ejemplo, la suma de la serie de los naturales 1, 2, 3, 4,... hasta infinito da -1/12. Casi na

¿Cómorrr? Si An= 1, 2, 3..., n, ¿el SUM(An)= -1/12? ¡Me he perdío colega! :D
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Manouche
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el Vie Feb 07 2014, 15:29
Yo me quedé a cuadros. Y se demuestra en 4 líneas ...
Elisewin
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el Vie Feb 07 2014, 15:35
No será la suma de las inversas de los numeros naturales? >Tampoco porque eso da mayor que 0.5.

Sumatoria de n para n de 1 a infinito da infinito... oiga, no entiendo.

Manouche me pasas la referencia por favor?

(la demostración que mostró Willy es difícilmente refutable. Y la realidad es que en el límite para el número de decimales tendiendo a infinito, que es lo que representa el 0.9#, ese valor es uno. En el límite...)
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el Vie Feb 07 2014, 15:42
[Tienes que estar registrado y conectado para ver este vínculo] escribió:No será la suma de las inversas de los numeros naturales? >Tampoco porque eso da mayor que 0.5.

Sumatoria de n para n de 1 a infinito da infinito... oiga, no entiendo.

Manouche me pasas la referencia por favor?

(la demostración que mostró Willy es difícilmente refutable. Y la realidad es que en el límite para  el número de decimales tendiendo a infinito, que es lo que representa el 0.9#, ese valor es uno. En el límite...)

Me sumo a la petición de Elisewin. Me gustaría ver esa demostración.

Por otro lado, ahí es donde el Análisis "pudiere" entrar en confrontación con la Topología. Si tomamos el intervalo semiabierto [0,1)... ¿dónde situamos el 0.9#? Si lo situamos dentro, estamos admitiendo que no es uno, aunque en el infinito tienda a uno (el 1 es la cota superior). Pero si decimos que es uno, está fuera del intervalo. Y "tender a uno como límite" no es lo mismo que "valer uno". Por ahí comenzaron las dudas.

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Manouche
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el Vie Feb 07 2014, 16:00
Me ha costado encontrarlo...
rellenad el http... en.wikipedia.org/wiki/1%2B2%2B3%2B4

No me deja poner enlaces todavia
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el Vie Feb 07 2014, 16:02
Hay cosas que has dicho que me recuerdan a cuando leí la noticia original, Matorral.

La "búsqueda" de ese X= 0.0.. 1, pero, claro, cuando n→ inf no implica que podamos colocar el "1" donde queramos, luego, por ese argumento parece imposible deducir la existencia de ese X.

Una cuestión relevante, por ello he remarcado que trabajamos con números reales, es que la base es decimal. De ahí que 0.3# no sea igual a 0.4 o 0.6# (la fracción 2/3) no sea 0.7; sin embargo, la base decimal sí "proporciona" 0.9# es igual a 1.

Es que la parte analítica es tan obvia que no hay por dónde cogerla.

La parte que parece "chirriar" es cuando, por ejemplo, planteas [0,1) y dónde colocar 0.9#; para el Análisis es obvio: base decimal, 0.9# = 1, luego está fuera del intervalo.

Y, en bucle, volvemos a la cuestión. ¿No existirá X tal que, como tú dices, 0.9# + X = 1?

Es una paranoia, lo sé, jajaja.
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el Vie Feb 07 2014, 16:13
[Tienes que estar registrado y conectado para ver este vínculo] escribió:Me ha costado encontrarlo...
rellenad el http... en.wikipedia.org/wiki/1%2B2%2B3%2B4

No me deja poner enlaces todavia

Interesante, sí que lo es. Yo he trabajado con la función Z de Riemman, pero no aplicada a esta particularidad. Aun así, hay que admitir una cosa: la serie original An= 1, 2, .., n de donde SUM(An)= n(n+1)/2 ha sido manipulada.

Tanto con la hipótesis de Ramanajuan como la de Riemman. La serie original es manipulada. Lo emocionante es que con "manipulaciones" (lo que yo gusto de llamar JUEGOS) puedes cambiar los resultados y el comportamiento de operaciones e identidades aparentemente obvias.

Jummm. Quizá haya que transformar 0.9# a una SUM, que es típico, pues está descrita ya y da como resultado 1, y, con astucia, meterle algo de esto por medio. Si se puede manipular An con tanta picardía, ¿por qué no manipular una Bn para 0.9#?

Manouche: me acabas de dar una idea. Gracias, de verdad.

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el Sáb Feb 08 2014, 16:49
Buen intento, Yves. Pero no has solucionado que en R, con base decimal (por la naturaleza de R), 0.9# sea 1. Hace falta -si existe, pues tras aplicar la Z de Riemann también falla- un argumento menos analítico y más algebraico (no basado en permutaciones).

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el Dom Feb 09 2014, 03:03
[Tienes que estar registrado y conectado para ver este vínculo] escribió:La demostración de la igualdad es esta, verdad?:

1/9 = 0.1#
9*(1/9) = 9*(0.1#)
1 = 0.9#

Está complicao rebatir eso.

Igual digo una tontería pero esa demostración se basa en un supuesto (la primera igualdad) que me produce la misma inquietud que la conclusión a sja...
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el Dom Feb 09 2014, 03:03
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Última edición por Disperso el Dom Feb 09 2014, 03:05, editado 1 vez (Razón : puse dos veces el mismo mensaje)
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el Dom Feb 09 2014, 03:11
Yves. En términos matemáticos decir "[1,0)" no tiene sentido, es decir, la matemática es un lenguaje formal y tiene un orden. Ese intervalo, desde las Matemáticas, no existe.

Lo que sí me interesa de tu comentario (mucho) es lo de "igualdad". O sea, 0.9# = 1 es una igualdad, es decir, una relación algebraica de igualdad. Con sus propiedades.

Aquí, paradójicamente, me permito usar la Filosofía: ¿cuál es el valor de esa igualdad?

Decimos que dos objetos son iguales, en términos de semántica, semiología o semiótica. Sin abandonar las Matemáticas y las relaciones de equivalencia, ¿tenemos el derecho a "decir" que son "iguales"?
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el Dom Feb 09 2014, 03:20
Lo inquietante es que dado cualquier intervalo 'pequeñito' siempre hay bastantes cifras para sobrepasarlo, pero dado cualquier número de nueves siempre hay un intervalo...
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el Dom Feb 09 2014, 03:21
Con intervalo me refiero a la supuesta diferencia entre ambos
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el Dom Feb 09 2014, 11:57
[Tienes que estar registrado y conectado para ver este vínculo] escribió:Yves. En términos matemáticos decir "[1,0)" no tiene sentido, es decir, la matemática es un lenguaje formal y tiene un orden. Ese intervalo, desde las Matemáticas, no existe.

Lo que sí me interesa de tu comentario (mucho) es lo de "igualdad". O sea, 0.9# = 1 es una igualdad, es decir, una relación algebraica de igualdad. Con sus propiedades.

Aquí, paradójicamente, me permito usar la Filosofía: ¿cuál es el valor de esa igualdad?

Decimos que dos objetos son iguales, en términos de semántica, semiología o semiótica. Sin abandonar las Matemáticas y las relaciones de equivalencia, ¿tenemos el derecho a "decir" que son "iguales"?
Bueno, de eso va "On sense and reference", de Frege. Se pregunta por si la igualdad en 2=2 y 2+2=4 juega un papel distinto, ya que parece la primera un juicio analítico, mientras que la segunda un juicio sintético. El sentido vendría a ser un modo de presentación, es aquello en lo que difieren 2+2 y 4 ( en lo que se distinguen no puede ser una cuestión meramente nominal, pues así el valor cognoscitivo sería sólo semántico y no habría ni siquiera cálculo). Lo que se iguala en estos "juicios sintéticos" es algo que se muestra en primera instancia como distinto.

Si se pueden igualar es porque comparten, sin embargo, aquello a lo que apuntan, es decir, la referencia. En 2=2 se comparte también el sentido (por tanto, obviamente también la referencia, ya que el sentido solo puede individuar a una).

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el Dom Feb 09 2014, 18:39
Si sólo tienes de 0 a 3, o sea, A= {0,1,2,3}, la base es cuatro y tu conjunto cociente es A/= ={0,1,2,3}. Es aritmética modular y el 0.3# no tiene equivalente (por eso dije desde el principio que trabajamos en el marco R, no en Z).

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