números imaginarios

Todo número imaginario puede ser escrito como donde es un número real e es la unidad imaginaria, con la propiedad

,

puesto entonces:

que es un número real.
Cada número complejo puede ser escrito unívocamente como una suma de un numero real y un número imaginario, de esta forma:

Al número imaginario i se le denomina también constante imaginaria.
Del mismo modo, partiendo de:

la raíz cuadrada de cualquier número real negativo, da por resultado un número imaginario, así por ejemplo:

Estos números extienden el conjunto de los número reales al conjunto de los números complejos .
Por otro lado, no podemos asumir que los números imaginarios tienen la propiedad, al igual que los números reales, de poder ser ordenados de acuerdo a su valor.^[5] Es decir, es justo decir que , y que . Esta regla no aplica a los números imaginarios, debido a una simple demostración:
Recordemos que en los números reales, el producto de dos números reales, supónganse a y b, donde ambos son mayores que cero, es igual a un número mayor que cero. Por ejemplo es justo decir que , , por lo tanto, , entonces tenemos que , y obviamente .
Por otro lado, supóngase que , entonces tenemos que , lo cual evidentemente es falso.
Y de igual manera, hagamos la errónea suposición de que , pero si multiplicamos por nos queda que . Por lo tanto tenemos que . Lo que es, igualmente que la suposición anterior, totalmente falso.
Concluiremos que esta suposición y cualquier otra de intentar dar un valor ordinal a los números imaginarios es completamente falsa.


El teorema fundamental del álgebra establece que todo polinomio de una variable no constante con coeficientes complejos tiene una raíz compleja, es decir, existe un número complejo que evaluado en el polinomio da cero. Este incluye polinomios con coeficiente reales, ya que cualquier número real es un número complejo con parte imaginaria igual a cero.
Aunque ésta en principio parece ser una declaración débil, implica todo polinomio de grado n de una variable no constante con coeficientes complejos n tiene, contando con las multiplicidades, exactamente n raíces. La equivalencia de estos dos enunciados se realiza mediante la división polinómica sucesiva por factores lineales.
Hay muchas demostraciones de este importante resultado, que requieren bastantes conocimientos matemáticos para formalizarlas. El nombre del teorema es considerado ahora un error por muchos matemáticos, puesto que es más un teorema del análisis matemático que del álgebra.

Todo polinomio en una variable de grado n ≥ 1 con coeficientes reales o complejos tiene por lo menos una raíz (real o compleja).

Rotaciones de 90-grados en el plano complejo
Geométricamente, los números imaginarios se encuentran en el eje vertical del plano complejo , presentándolos como perpendiculares al eje real. Una manera de ver los números imaginarios es el considerar una recta numérica típica, que aumenta positivamente hacia la derecha y aumenta negativamente hacia la izquierda. Podemos entonces dibujar un eje de coordenadas vertical pasando por el 0 del eje horizontal, de modo que represente números imaginarios aumentando positivamente hacia arriba y negativamente hacia abajo. Este eje vertical es llamado el "eje imaginario" y es denotado como , , o simplemente . En esta representación, una multiplicación por –1 corresponde a una rotación de 180 grados sobre el origen. Una multiplicación por corresponde a una rotación de 90 grados en la dirección "positiva" (en el sentido antihorario ), y la ecuación puede interpretarse diciendo que si aplicamos dos rotaciones de 90 grados sobre el origen, el resultado final es equivalente a una simple rotación de 180 grados. Nótese que una rotación de 90 grados en la dirección "negativa" (sentido horario) satisface también esta interpretación. Esto refleja el hecho que es también una solución de la ecuación . En general, multiplicar por un número complejo es lo mismo que sufrir una rotación alrededor del origen por el argumento del número complejo, seguido de un redimensionamiento a escala por su magnitud

|mundo>=1/sqrt(2) · (|real>+|imaginario>)

Yo uso todas estas cosas en mis programas. Veo a los números complejos como números reales (dispuestos sobre la recta que va del infinito negativo al positivo) pero que, además del "valor" que tienen en dicha disposición lineal, tienen otro personal, propio, algo así como una carga o intensidad. Por eso es que podemos hablar de números hiper-complejos, es decir: de cualquier cantidad de parámetros adicionales. Según cómo se organicen esos parámetros, tendremos números complejos, hamiltonianos, cuaterniones, etc. Lo que se quiera, lo que se necesite. Por supuesto, el álgebra en juego no siempre puede ser la misma. Pero eso también "se negocia" en cada caso.

En poco tiempo, subiré aquí una técnica que bauticé como Síntesis Fractal. Además de explicar de qué se trata, pasaré unos links a sonidos conseguidos con dicho método. El algoritmo se basa en matemática fractal, lo cual implica: números complejos. Utilizo las funciones de la librería C dedicada a ese tipo de números, la famosa librería COMPLEX. Para mí los números y la matemática son como un juguete que podemos emplear como nos guste, para lo que sea, desarmando conceptos y aplicándolos donde no corresponde. Es divertido y muy fructífero. De hecho, uno de mis moduladores se basa en una ecuación propia de la física cuántica que nada tiene que ver (tenía) con la síntesis sonora. Y no creo que mi proceder sea irrespetuoso. Al contrario.

Vivan los números complejos, pues.

—Che, i34 —le dijo un número imaginario a otro—, creo que podríamos resolver la imposibilidad de encontrar la raíz cuadrada de Uno...
—¿En verdad, i705? ¿Lo creés posible?
—Si funciona, podría hacerme rico. Pero tengo miedo de que me roben la idea...
—Confiá en mí —se le acercó i34—. Estos labios están sellados.
—Bueno, ahí va —explicó i705—. La idea es establecer otra clase de números, que podrían llamarse "complejos", formados por dos partes: una imaginaria, como nosotros, y la otra...
—Adelante, te escucho.
—La otra parte sería "real", por llamarla así.
—Hum —dudó i34 tras intentar comprender esa quimera—, eso suena muy rebuscado, ¿no?
—Cuando el Mundo Reflejo inventó el Mundo Real y lo colocó allá atrás, del otro lado de los espejos y del arcoiris —argumentó i705— también pareció una idea rebuscada, pero tiempo después...
—Comprendido —sentenció i34, ya persuadido—. Bueno, entonces sería cuestión de probar.
—En eso estoy —continuó i705—. Lo plantearé en el foro iAdulto Superdotado a ver qué piensan los demás números imaginarios...
—¡Pero ahí te van a robar la idea seguro! —lo alarmó i34—. No hay que fiarse de esos trotamundos que andan a la caza de no se sabe qué...
—Eso es cierto —se lamentó i705—. Quizás deba patentar antes la idea, registrarla como se debe...
—Dejá eso en mis manos —se ofreció i34—. Yo me encargo de todo.
—Gracias, ¡sos un amigo!
—¡Faltaba más! —empezó a alejarse i34—. ¿Así que con esto podrías hacer mucha plata?
—Por supuesto —afirmó i705, enfilando ya para su casa—. ¿iEdison no se hizo rico, acaso? ¿E iMarconi?
—Ajá —fue lo útimo que le dijo i34 a i705 en el plano imaginario—. Bueno. Antes de pasar por la oficina de patentes, voy a darme una vuelta por la concesionaria de iBMW, a ver unos modelos nuevos que importaron...

Muy didáctico, Sergio sobre todo para expresar esto:todo número complejo puede representarse como la suma de un número real y un número imaginario (que es múltiplo real de la unidad imaginaria).

"...que es múltiplo real de la unidad imaginaria". Eso no lo sabía. ¿Estás seguro? Me parece que no. La parte real y la imaginaria son independientes. La única "relación" que guardan entre sí es en forma de "magnitud" o "valor absoluto" del número complejo, que sería, en términos polares, el módulo del número, sin importar el ángulo. ¿Estamos de acuerdo?

Im(Z), donde Z es complejo, es un número real.

Ah, sí, ya caigo. La "unidad imaginaria". Perfecto. Leí "la parte". Perdón.

OK, en electrónica el concepto descrito se especifica a través de un Fasor. Este tiene las propiedades de ser expresado de dos formas diferentes la primera mediante una parte Real (Re) y otra Imaginaria (Im) como se describe (Notación rectangular), la segunda mediante una Magnitud y angulo (notación Polar). Quizás la relación más universal de este hecho es la identidad de Euler:



El concepto fasorial se describe en una rama muy importante de la ingeniería electrónica (Circuitos en alterna (AC)) y comportamiento frecuencial (Señales y sistemas). La identidad de Euler da base fundamental a la estructura de serie de Laurent vista desde el concepto de transformada y serie de Fourier.

Bien, Miltriades Eupator, tomé nota. Siempre quise saber a qué le llamaban "phasor" en DSP. Ahora me queda claro como el agua. Me hubiera gustado estudiar "Señales y sistemas", pero eso me llevaría un par de años... Tengo libros de Proakis y otros "capos" en la materia, y cada tanto les echo una ojeada.

Gracias por el dato.

Hola.

Las álgebras de Clifford:

http://en.wikipedia.org/wiki/Clifford_algebra

son la generalización de los números complejos e hipercomplejos (Cuaterniones, octoniones, sedeniones), también contienen los spinores que se utilizan para representar los spins de los objetos cuánticos.

De la misma manera que los complejos pueden representar rotaciones en el plano, los cuaterniones pueden representar rotaciones en 3D:

http://en.wikipedia.org/wiki/Quaternions_and_spatial_rotation

Otra rama de las álgebras de Clifford es la álgebra geométrica y su asociado cálculo geométrico:

http://en.wikipedia.org/wiki/Geometric_algebra

http://en.wikipedia.org/wiki/Geometric_calculus

que conforman un cálculo vectorial más rico que el clásico (El de Gibbs y Heaviside), y también más asociado a las ideas originales del iniciador de los vectores, Grassmann.

También es interesante ver cómo el álgebra y el cálculo geométrico son una gran síntesis de las ideas geométricas desde la geometria sintética de Euclides y la analítica de Descartes, como se ve en el diagrama de la sección "History" de la página del cálculo geométrico.

Si queréis profundizar en esta síntesis de geometrías hay dos artículos muy buenos del gurú del álgebra geométrica, Davis Hestenes:

http://geocalc.clas.asu.edu/pdf/GrassmannLegacy2.pdf

http://geocalc.clas.asu.edu/pdf-preAdobe8/PGwithCA.pdf

(Este sería como una primera parte del primero:
http://geocalc.clas.asu.edu/pdf-preAdobe8/GrassmannVision.pdf )

Y en la página:

http://geocalc.clas.asu.edu/

hay mucha infromación sobre el álgebra geométrica y el cálculo geométrico y sus aplicaciones en física.

Interesante Nuelsp, gracias por los links!!!

También podemos mencionar, como aplicación de los números complejos, los bellísimos conjuntos de Mandelbrot, definidos en el plano complejo, por la ecuación de recurrencia z=z^2+c.
http://es.wikipedia.org/wiki/Conjunto_de_Mandelbrot

Me da que no hay suficientemente dominio en este entorno como para poder comentar esto. A la inmensa mayoría nos queda un "poco" grande el tema. Por decirlo suavemente.

Alguien del foro seguro que sabe de estos temas

Oye Erasmo, tú que conoces de esas cosas. ¿tiene que ver que aparezcan números imaginarios en esas ecuaciones con los modelos de universo de n dimensiones? Creo recordar que había uno de 11 dimensiones pero ya ni recuerdo dónde lo leí.

Están postulados con 10, 11 y 26 dimensiones.

@Disperso escribió:Oye Erasmo, tú que conoces de esas cosas. ¿tiene que ver que aparezcan números imaginarios en esas ecuaciones con los modelos de universo de n dimensiones? Creo recordar que había uno de 11 dimensiones pero ya ni recuerdo dónde lo leí.

Pero de dónde salen esas dimensiones, es porque encajan con esos imaginarios que comentabas más arriba o nada que ver?

Salen como solución al aparato matemático de la teoría de cuerdas.

En las aplicaciones de control clásico se utilizaba mucho el plano complejo para representar el lugar de las raíces (polos y ceros) del sistema transformado mediante transformada de Laplace. Con las modernas computadoras ya no es necesario este enfoque (requería linealizar los modelos para poder transformarlos) por lo que hoy en día prácticamente no se utilizan los números complejos para estas aplicaciones. Ahora se utilizan directamente los modelos en el dominio temporal y no importa que sean no lineales.

Erasmo, corrígeme si digo una tontería sin tener ni idea pero los modelos, como la teoría de cuerdas, nacen para intentar explicar lo observado. Qué observaciones explica elegantemente la teoría de cuerdas/