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Teoría del Todo de las Matemáticas

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Teoría del Todo de las Matemáticas

Mensaje por nuelsp el Miér Dic 03 2014, 10:24

Hola.

Las Matemáticas son por un parte objetos y estructuras concretas y por otra parte abstracciones que relacionan objetos y estructuras concretas u otras abstracciones.

Objetos y estructuras concretas:
- Números: Enteros, racionales, reales (Y otros más exóticos como los infinitesimales, hiperreales, surreales, p-ádicos, etc).
- Estructuras de números o geometrías: Números complejos, hipercomplejos, vectores, matrices, funciones reales, curvas, superficies, volúmenes, funciones complejas, etc.

Abstracciones:
- Lógica de Predicados.
- Teoría de Conjuntos.
- Teoría de Categorías.
- Estructuras del Álgebra Abstracta como Grupos, Anillos, etc.
- etc.

Con la Lógica Combinatoria:
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se puede expresar los enteros y la aritmética como se ve en la sección 5 "Computable functions and arithmetic". Y por otra parte se puede expresar la lógica de predicados como se ve en la sección 1 "Schönfinkel's elimination of bound variables".

Por otra parte M.W. Bunder ha escrito sobre cómo expresar la Teoría de Conjuntos y la Teoría de Categorías con la Lógica Combinatoria.

O sea que la Lógica Combinatoria es un lenguaje con el que se puede expresar tanto lo concreto como las abstracciones de la Matemática, lo que la convierte en un germen para una Teoría del Todo de las matemáticas.

La Lógica Combinatoria está en estrecha relación con el Cálculo Lambda. Las dos junto a la Funciones Recursivas de Kleene son alternativas a las Máquinas de Turing para caracterizar la computación.
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Re: Teoría del Todo de las Matemáticas

Mensaje por Erasmo el Mar Dic 23 2014, 11:27

Y como crees que debería ser el avance para que consigamos esa teoría del Todo de las Matemáticas? Realmente ha de existir? Esas 2 mismas preguntas existen para la teoría del todo de la Física.

Erasmo

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Re: Teoría del Todo de las Matemáticas

Mensaje por nuelsp el Sáb Dic 27 2014, 11:32

Hola.

Teoría del Todo puede tener al menos dos significados.

Por ejemplo Teoría del Todo en el sentido de lo que unificaría el detalle de cada disciplina concreta de las Matemáticas con los principios abstractos que comparten todas las disciplinas.

Intentando paralelismo entre Matemáticas y Física:

Tanto una como otra tienen una serie de disciplinas o áreas:

Matemáticas: Aritmética, Geometría, Álgebra, Cálculo, etc.

Física: Mecánica, Óptica, Electromagnetismo, Termodinámica, etc.

Las dos sueñan con una unificación, una abstracción que unifique las diferentes disciplinas, unos principios comunes de los que las diferentes disciplinas con sus detalles particulares sean sólo variaciones.

En matemáticas el intento de unificación empezó en el XIX con la aparición de la lógica de predicados, luego de la teorías de conjuntos, del álgebra abstracta. Después a partir de los 1940 surgió la teoría de categorías.

En física esto estaría representado por las ideas de:
- La idea de energía.
- Principios Simetría, Invarianza, Conservación.
- Principios Variacionales, Dinámica de Lagrange, Dinámica de Hamilton.
- etc.

O sea todas las ideas que las diferentes disciplinas comparten y que permiten una visión común.

Cuando estudié mecánica una de las teorías que más me gustó fué la de las dinámicas de Lagrange y Hamilton, porque no sólo permitía modelizar sistemas mecánicos y electromagneticos o eléctricos con formalismos comunes sino porque además permitía modelizar sistemas mixtos con por ejemplo partes mecánicas y elécricas que interactúan como en los sistemas electromecánicos.

No conozco la cuestión pero supongo que a nivel nano y micro habrá algo parecido a como a nivel clásico, algo parecido a la dinámica de Lagrange de sistemas electromecánicos pero con sistemas nanomecánicos y nanoelectrónicos o con fonones y fotones.

***

Aunque en Física a Teoría del Todo se le da sobre todo el significado de por ejemplo de Teoría de Cuerdas, o sea en el sentido de elementos fundamentales de los que por diferentes combinaciones y por arquitecturas cada vez más complejas se crea toda la variedad de lo que existe.

Un equivalente en matemáticas sería en teoría de conjuntos los axiomas Zermelo-Fraenkel-Choice (ZFC). Si de estos se pudieran derivar todos los demás axiomas de todas las teorías matemáticas posibles, entonces los axiomas de ZFC serían como las cuerdas o las partículas elementales de las matemáticas. Pero por ejemplo en teorías tan fundamentales como geometría Euclídea o la de grupos eso no es así. Aunque una recta pueda ser considerada un conjunto de puntos geométricos y los elementos de un grupo formen un conjunto, las estructuras euclídeas o de grupo que reflejan sus axiomas no pueden ser derivadas de los axiomas ZFC.

En ese sentido funciona mejor la teoría de Categorías porque como parte como idea fundamental de la relación entre objetos entonces las estructuras están mejor representadas.

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Re: Teoría del Todo de las Matemáticas

Mensaje por Elisewin el Sáb Dic 27 2014, 14:54

Esto me recuerda las leyes de conservación en las ingenierías. No, no es lo mismo, solo me lo ha recordado. Smile

Cualquiera sea el principio fundamental (masa, energia, momento, carga...) se aplica la misma ley de conservación, y esto conduce al planteo de ecuaciones diferenciales completamente análogas para todos los casos. No es un "todo" en el sentido estricto, pero permite explicar con la misma estructura básica y utilizando los mismos algoritmos muchísimos problemas físicos de naturaleza esencialmente diferente, con un modelo matemático idéntico.
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Re: Teoría del Todo de las Matemáticas

Mensaje por Erasmo el Lun Dic 29 2014, 11:53

Para mi la teoría de "cuerdas matemática" sería la unión de los axiomas de Zermelo-Fraenkel con los axiomas de Peano.

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Re: Teoría del Todo de las Matemáticas

Mensaje por nuelsp el Mar Dic 30 2014, 10:55

Hola,

[Tienes que estar registrado y conectado para ver este vínculo] escribió:Esto me recuerda las leyes de conservación en las ingenierías. No, no es lo mismo, solo me lo ha recordado. Smile

Cualquiera sea el principio fundamental (masa, energia, momento, carga...) se aplica la misma ley de conservación, y esto conduce al planteo de ecuaciones diferenciales completamente análogas para todos los casos. No es un "todo" en el sentido estricto, pero permite explicar con la misma estructura básica y utilizando los mismos algoritmos muchísimos problemas físicos de naturaleza esencialmente diferente, con un modelo matemático idéntico.

Suena a una aplicación práctica del teorema de Noether.
La energía es lo que puede ser invariante o conservarse por translación en el tiempo, el momento lo que puede conservarse por translación en el espacio, el momento angular lo que puede conservarse por rotación, etc.
Ecuaciones similares pero considerando derivadas por variables asociadas a la conservación que se quiera considerar.

[Tienes que estar registrado y conectado para ver este vínculo] escribió:Para mi la teoría de "cuerdas matemática" sería la unión de los axiomas de Zermelo-Fraenkel con los axiomas de Peano.

Teoría del todo matemática, "átomos" o "partículas elementales" o "cuerdas" matemáticas.

Los conjuntos y todas las construcciones numéricas y geométricas en base a ellos serían las "partículas" o "cuerdas" clásicas.

Las "cuerdas" modernas, más estructuradas y con posibilidades más ricas, que no contradicen a los conjuntos sino que los incluyen como un caso particular límite (Parecido a como la física clásica es un límite de la cuántica), serían las categorías y sobre todo su caso particular los toposes.

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Re: Teoría del Todo de las Matemáticas

Mensaje por Erasmo el Mar Dic 30 2014, 10:59

¿Dónde meterías los axiomas de Peano?

Erasmo

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Re: Teoría del Todo de las Matemáticas

Mensaje por Erasmo el Mar Dic 30 2014, 11:24

[Tienes que estar registrado y conectado para ver este vínculo] escribió:
Cuando estudié mecánica una de las teorías que más me gustó fué la de las dinámicas de Lagrange y Hamilton, porque no sólo permitía modelizar sistemas mecánicos y electromagneticos o eléctricos con formalismos comunes sino porque además permitía modelizar sistemas mixtos con por ejemplo partes mecánicas y elécricas que interactúan como en los sistemas electromecánicos.

No conozco la cuestión pero supongo que a nivel nano y micro habrá algo parecido a como a nivel clásico, algo parecido a la dinámica de Lagrange de sistemas electromecánicos pero con sistemas nanomecánicos y nanoelectrónicos o con fonones y fotones.


Efectivamente, estimado amigo Nuelsp. En mecánica cuántica, para dicho formalismo se utiliza el Hamiltoniano cuántico. A diferencia del hamiltoniano clásico, nos encontramos frente a un operador cuántico, que se corresponde con la "observable" energía.En este caso el sistema es descrito por un vector de estado, no por las posiciones y momentos de las partículas que forman el sistema, como ocurre en el formalismo clásico. Los posibles valores de Energía de un sistema vendrían dados por los autovalores correspondientes a los autovectores que se aplican al operador hamiltomiano. Para que tengamos "valores reales" de energía, la mecánica cuántica impone la condición de que el operador hamiltoniano H sea hermítico.La ecuación en este caso que se utiliza para calcular la energía sería la ecuación de Schrödinger. Además otra condición que se impone es que el hamiltoniano sea un operador "autoadjunto". Esto es fácilmente demostrable de manera trivial para un sistema de dimensión finita, pero no es trivial en el caso de un sistema de dimensión infinita (matriz de infinitas dimensiones).

El formalismo hamiltoniano cuántico, se aplica en casos como el oscilador armónico cuántico, las soluciones de energía del átomo de hidrógeno, la transformada de Fourier cuántica, etc... Con carácter general, todos los procesos estudiados mediante el formalismo hamiltoniano clásico, tienen un análogo cuántico.

Del mismo modo, existe un lagrangiano cuántico, análogo al lagrangiano clásico. Como en el caso del hamiltoniano cuántico, estamos ante un operador cuántico.Existen lagrangianos diferentes, según la teoría cuántica de campos que tratemos: Lagrangiano para la ecuación de Dirac, lagrangiano de la electrodinámica cuántica (QED), lagrangiano de la cromodinámica cuántica (QCD)...

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Re: Teoría del Todo de las Matemáticas

Mensaje por nuelsp el Miér Dic 31 2014, 08:38

Hola,

[Tienes que estar registrado y conectado para ver este vínculo] escribió:¿Dónde meterías los axiomas de Peano?

En construcciones numéricas y geométricas, axiomas para enteros y aritmética junto a axiomas o definiciones para reales, funciones reales, vectores, etc.

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Re: Teoría del Todo de las Matemáticas

Mensaje por Erasmo el Lun Ene 05 2015, 11:00

Nuelsp, lo que yo pienso es que según Kurt Göedel los axiomas de Zermelo-Fraenkel son indemostrables. Lo que se puede deducir de ellos es una "consistencia relativa".Respecto a su "completitud" si los axiomas de ZFC son fuertes como para construir una aritmética recursiva, estos axiomas no pueden ser completos y consistentes simultáneamente.

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Re: Teoría del Todo de las Matemáticas

Mensaje por nuelsp el Miér Ene 07 2015, 11:32

Hola,

[Tienes que estar registrado y conectado para ver este vínculo] escribió:Nuelsp, lo que yo pienso es que según Kurt Göedel los axiomas de Zermelo-Fraenkel son indemostrables. Lo que se puede deducir de ellos es una "consistencia relativa".Respecto a su "completitud" si los axiomas de ZFC son fuertes como para construir una aritmética recursiva, estos axiomas no pueden ser completos y consistentes simultáneamente.

Según la Teoría de Toposes, ZFC sería sólo una posible teoría de conjuntos, la más básica.

J.L. Bell en estos dos documentos:
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hace la analogía entre ZFC y el espacio-tiempo absoluto de la Física Clásica, y entre los Toposes y el espacio-tiempo de la Relatividad (En el segundo documento, en las págs 32 a 34 hay una tabla detallada de analogías).

ZFC como el espacio-tiempo absoluto de la Física Clásica es un intento de definir unos conjuntos de un único tipo para todas las situaciones, pero el desarrollo de la Matemáticas como el de la Física ha llevado a marcos no absolutos.

ZFC se correspondería con lo que se llama well-pointed Toposes o Constant Sets, siguen el Axiom of Choice, el Excluded-Middle, y el Álgebra de Boole. Pero se pueden considerar los Toposes llamados Variable Sets, estos no cumplen el Axiom of Choice, y siguen Álgebras de Heyting de la que el Álgebra de Boole es la más sencilla. Los Variable Sets se dan sobre todo en Topología, por ejemplo en Grafos y en Haces.

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