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¿Problemas del metodo de Cantor?

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Mensaje por dudainconsistente el Mar Nov 05 2013, 22:43

¿Será posible definir una función biyectiva, entre los números reales y los números reales del intervalo (0, 1) usando el método del argumento de la diagonal de Cantor?

§  (BÌA): sea (B) un subconjunto de (A), tal que (B≠A); en consecuencia: (B) es un subconjunto propio de (A).
§  (A≈B): dos conjuntos (A y B) se dicen equipotentes (poseen la misma cardinalidad), si es posible establecer una correspondencia biunívoca entre ellos.
§  Un conjunto infinito (A), es un conjunto que posee un subconjunto propio (B) con el que puede ponerse en correspondencia biunívoca (función biyectiva f: (A→B) {teorema de Cantor-Schroder-Bernstein}).
§  Del mismo modo en que Cantor no detalla (FC(x)) – que en principio definiría una función biyectiva entre los conjuntos de lista(C), misma que, posteriormente será declarada inexistente –; no detallare (FR(x)) – que en principio definiría una función biyectiva entre los conjuntos de lista(R) –.
§  Siendo (A: el conjunto de los números reales y B: el conjunto de los números reales del intervalo (0, 1)) equipotentes {demostración de la equipotencia del intervalo (0, 1) de (R) y (R)}, existe necesariamente una correlación biunívoca entre sus elementos.
§  Bien. Confirmémoslo usando el método del argumento de la diagonal de Cantor: para ello, construimos una lista(R), mediante (FR(x)): igualando (1 a 1) los números reales a los números reales del intervalo (0, 1). Y empleamos (FC(x)) de Cantor para construir su número real (x) del intervalo (0, 1), tal que no pueda ser contenido por lista(R).
§  Conclusión: con un grado de rigurosidad similar al usado por Cantor en su argumento de la diagonal, demostramos que: no es posible definir una función sobreyectiva (y consecuentemente biyectiva – correspondencia biunívoca –), entre los números reales y los números reales del intervalo (0, 1). En consecuencia: no son conjuntos equipotentes (A!≈B) – ¿demostramos la absurdidad de un método?
§  …

¿Absurda absurdidad?
El que se consideren no solo posible, sino incluso trivial (dada la displicencia con que son propuestos):
§  el absurdo referido a la construcción numérica de un número poseedor de una expresión entera infinita (en nuestro caso: los números naturales) o decimal infinita (periódica o no periódica) – a excepción de convenciones matemáticas, como por ej.: 0,19=0,20=0,2. Y consecuentemente, la construcción numérica de lista(C).
§  el absurdo referido a que (f(x)) pueda construir un número que pueda ser contenido en lista (finita o infinita) alguna. Puesto que siempre podremos demostrar que al menos contendrá un digito diferente a cada número presente (elementos del conjunto) de la lista (finita o infinita) utilizada en su construcción – ninguna lista de elementos puede contener elementos que se autoexcluyan de toda lista}.
Sumado a lo anterior, ni siquiera (f(x): construcción numérica de (x)), es esencialmente dependiente {está específicamente relacionado…} de la densidad diferencial definida entre los elementos de la recta numérica real y los elementos de la recta numeraria natural (conjuntos a correlacionar). Siendo (f(x)), capital en el método de la diagonal de Cantor, puesto que básicamente su objetivo es demostrar que no puede establecerse una relación (función sobreyectiva y consecuentemente biyectiva) entre los conjuntos.
§  el absurdo referido a tomar una obviedad ((x) !Є lista(C), siendo que (x) se autoexcluye de toda lista (finita o infinita)), como prueba de una reducción al absurdo (Card(lista(C))… me parece, a lo menos: inconducente.

En síntesis: según creo entender, no es la densidad diferencial definida entre los elementos de la recta numérica real y los elementos de la recta numeraria natural, lo que impide que el número real (x) construido por (f(x)) sea contenido en lista(C) {Codominio – segundo miembro (ecuación)}. Su razón, se limita tan solo a su construcción: (f(x)). Misma, que le excluye de toda lista (finita o infinita).
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Mensaje por sjah8 el Vie Feb 07 2014, 12:22

Bueno. Al menos hasta lo que yo sé, existe un isomorfismo entre (0,1) y R. Sin proceder por la demostración formal, más que nada por pura pereza -y porque tendría que estar un buen rato con ello- me ampararía en la densidad de los números reales: la misma densidad de la recta real (sea D) será la misma que en cualquier intervalo (x,y) de R. O sea, el agua de una botella tiene la misma densidad que ese mismo agua en un vaso.
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Mensaje por M_baja_solicitada el Vie Mayo 02 2014, 14:38

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